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群论、范畴论入门

      众所周知，数学的三大方向分别是代数、几何、分析，数相关的归于代数，如初等代数、数论、抽象代数-群论等；几何研究空间和形状，如解析几何、欧氏几何、非欧几何（黎曼几何）、拓扑学、微分几何(流形)等；分析则是数和形之间的纽带，主要包括微积分、实分析、复分析、泛函分析，以及在此基础上发展出的常微分、复变函数与积分变换等。另外概率论-统计、逻辑学、离散数学都可看做三大方向的复合学科。现代数学抽象化程度更高，为了将集合论、群论、向量空间与拓扑中有很多相似的概念统一地表示出来，发展出一门新的学科即范畴论(Category） 。

1 群的基本概念^1

      群定义为满足如下条件的封闭集合G：

  1. 定义一种二元代数运算$\forall a \in G, \exists f:a\mapsto b,b \in G$
  2. 运算满足结合律:$f:a\mapsto b，g:b\mapsto c， f\circ g：a\mapsto c$
  3. 存在单位元：$\exists e, f(e)= e$
  4. 存在逆元：$\forall a \in G, f(a)=b,\exists f^{-1}(b)=a$

      当集合满足1、2时，称为半群，满足1、2、3时称为幺半群(单位半群，$\frac{3}{4}$群)；如果1,2,3,4再附加一个交换律$ f\circ g= g\circ f$则称为Abel交换群。常见有的整数加法群(Z,0,+)、实数乘法群(Q,1,*)，以及S2(平面旋转群等)。整数加群是一个Abel交换群。

2 偏序关系

      偏序关系（partial order relation）的定义是集合P 与一个二元关系运算’$\le$’定义的，这个二元关系需要满足：

  1. 自反性：$x\le x$
  2. 反对称性：$x \le y 且y \le x \Rightarrow x = y$
  3. 传递性：$x \le y 且y \le z \Rightarrow x \le z$

      那么集合P 中的每个元素都可以对应一个范畴上的对象，$\le$ 对应态射，首先就满足了 范畴上每个对象都有id 映射，由于这个关系是可以传递的，所以它是可复合的，例如$f$ 为 $x \le y$，$g$ 为$y\le z$，那么$f \circ g$ 就得到了 $x\le z$，当然这种复合也是可结合的。

范畴并没有对态射、对象是什么做出明确的规定。只要能满足每个对象有id 态射，态射可复合，复合可结合这些性质。

3 范畴^2

      范畴在群的定义上进一步抽象化，一个范畴C由下面两个要素构成：

  1. 一组对象Object:A,B,C…组成，记做$Ob(C)$.

    对象可以是任意的，可以为值，可以是类型，还可以是其他更高阶的数学对象，甚至对象可以是一个范畴.

  2. 一组态射(Morphism,arrow),该范畴上全部态射集合记为$Arr(C)$,对应对象$A,B$，都可以得到一个态射的集合，记为$C(A,B)$，并且$A\neq A′ $且$B\neq B′ $ 时,C(A,B) 与C(A′,B′) 无交集.对于一个A 到B 的态射$f$，我们可以写成 :$f: A \mapsto B$，这些态射满足：

    1. 复合运算（Composite)，对于一对态射$f:A\mapsto B$ 与$g:B\mapsto C$（$g$ 的定义域与$f$ 的值域相等），存在一个复合的态射$g\circ f：A\mapsto C$,$\circ$ 是态射复合的运算符.

    2. 态射的复合操作满足结合律（associativity），若$A, B, C, D \in Ob(C)$，那么态射$f : A \mapsto B, g : B \mapsto C,h : C \mapsto D$ 都有$g \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$.

    3. 对于每一个对象$A \in Ob(C)$ 都存在一个单位态射（identity morphism）$1_A \in C(A,A)$ 使得对于任意的态射$f \in C(A,B) 与g \in(C,A) $都有:

      ​ $$f \circ 1_A = f , 1_A \circ g = g$$ (因为$1_A$ 分别是$f$ 与$g$ 右单位元与左单位元，所以$1_A$ 称为单位态射)

      复习下高中阶段函数映射的相关定义,$集合A,B，映射f：A\mapsto B$：

  • 单射（injection）：如果$\forall a, b \in A, f(a) = f(b) \Rightarrow a = b$,那么则说$f$ 为单射函数。

    评论25.1.5. 如果一个函数是单射的，那么则说明定义域内不会有两个不同的值对应值域内
    同一个值。例如$f = x^2$ 就不是单射的，因为$+1$ 与$-1$ 都对应1，而$f(x) = x+1$ 则是单射的。

  • 满射（surjection）：如果对于所有的$y \in B,\exists x \in A,st. f(x) = y$，那么则说$f$ 为满射。

    如果一个函数是满射的，那么所有值域中的值在定义域都会有至少一个原象。

  • 双射（bijection）：如果函数$f$ 既是单射又是满射，那么$f$ 为双射。

    部分书籍称为一一映射

      态射将上述三种函数映射在范畴论上的推广为：

  • 完全态射（epimorphism）：若$g\circ f = h \circ f \Rightarrow g = h$，则$f$ 是完全态射。

    这种特性被称为右消除（right cancellation）或右可约。

  • 单一态射（monomorphism）：若$f\circ g = f \circ h \Rightarrow g = h$，则$f$ 是单一态射。

    这种特性被称为左消除（left cancellation）或者左可约。

  • 同构态射（isomorphism）：若对于$f，\exists f^{-1},st.f \circ f^{-1} = id \space and\space f^{-1} \circ f = id$，则$f$ 为同构态射。

三种函数映射可看做是在集合范畴上的特例【单一态射->单射、完全态射->满射、同构态射~>双射】.比如单一态射且完全态射被称为双态射（bimorphism），但它可能不是同构的。

4 函子(Functor )

    Functor 是范畴间的态射,定义为:C 与D 为范畴，那么函子$F : C \mapsto D$ 会把C 中的所有对象与态射对应到D上，并且保留了复合运算与单位元：

  • F 既会映射对象又会映射态射:$F(f : A \mapsto B) = F(f) : F(A) \mapsto F(B)$
  • 保留了恒值映射:$F(id_A) = id_{F(A)}$
  • 在函子上保留了映射的复合:$F(g \circ _C f) = F(g) \circ _D F(f)$

参考文档