0 Fibonacci定义 ​ > $ f(n+1)=f(n)+f(n-1),\space n >= 1$ 1. $\sum(f(n)^2) = f(n)\cdot f(n+1)$ ​ 面积之和相等: 证明aka.绘图代码如下 import matplotlib.pyplot as plt from matplotlib.path import Path import matplotlib.patches as patches import numpy as np def fib(max): a, b = 1, 1; while a < max: yield a; a, b = b, a + b; verts = [ ] codes = [ # Path.MOVETO, # Path.……

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$\LaTeX$ Symbol $$ z = r\cdot e^{2\pi i} \quad \sqrt{x} \quad \frac{1}{2} $$ $$z = r\cdot e^{2\pi i} \quad \sqrt{x} \quad \frac{1}{2} $$ $$ \pm \quad \times \quad \div \quad \cdot \quad \cap \quad \cup \quad $$ $$ > \quad< \quad\geq \quad \leq \quad \neq \quad \approx \quad \equiv $$ $$ \pm \quad \times \quad \div \quad \cdot \quad \cap \quad \cup \\ \quad> \quad< \quad\geq \quad \leq \quad \neq \quad \approx \quad \equiv $$……

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1. setup mpich2 mpiexec -remove to remove account for each computer node mpiexec -register to add account for each computer 'node' mpiexec -validate to validate the account Notice ,you must create a account(username/password all same) for all nodes on windows. 2. build boost.mpi 修改boost_1_47_0\tools\build\v2\tools\mpi.jam文件，修改的地方如下： #local cluster_pack_path_native = "C:\\Program Files\\Microsoft Compute Cluster Pack" ; local cluster_pack_path_native = "D:\\Program Files\\MPICH2" ; ... options = <include>$(cluster_pack_path)/Include <address-model>64:<library-path>$(cluster_pack_path)/Lib/amd64 <library-path>$(cluster_pack_path)/Lib <find-static-library>mpich2d <toolset>msvc:<define>_SECURE_SCL=0 找到 需要在boost_1_47_0\tools\build\v2\user-config.jam中加入（注意空格！！！）……

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Optimize Program 最小二乘法 OLS (https://zhuanlan.zhihu.com/p/38128785) Define 1.要求函数$f$ 在$g$ 约束下的极值这种问题 $$ minmax\quad f(x)\ s.t.(subject\space to)\space g_i(x)=0 $$ 拉格朗日数乘法求极值 Example 1 $已知x>0,y>0, x+2y+2xy = 8, 求x+2y最小值$ 等同于求$L(x) = x+2y+\lambda(x+2y+2xy-8)$的最小值(无论$\lambda$取何值，后面部分都是0)，由极值条件有： $$ \begin{cases} L’_x=1+λ+2λ y = 0 \\ L’_y=2+2λ +2λ x = 0 \\ L’_λ= x+2y+2xy-8 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=2\\ y=1 \end{cases}\\ \therefore min(L(x)) = 4 $$……

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1. Geometry ​ 几何学源自古代农业生产活动中发展的测量土地技术，欧几里得的《几何原本》是古典几何的集大成。中国古代很早就发现了勾股定理、掌握了割圆术等一系列几何学知识，可惜受制于封建统治阶级的意思形态，科学技术对没有对社会生产力产生直接的推动，近现代几何学一直为西方主导。随着数学三大基础方向的发展，代数学和几何学的融合，导致解析几何的产生，分析学在几何方向催生出曲面几何、拓扑学等。几何学自身也在蓬勃发展，在欧氏几何上发展出非欧几何（黎曼几何）、微分几何、分形等科学分支。本文主要记录一些笔者在解析几何的思考。 2 Line in 2d ​ 初中我们就学过平面的直线方程： $$ y = kx+b\quad\quad (1) $$ ​ 老师会告诉我们这个公式(1)斜率是$k$，$b$是$y$轴偏移，但是很不幸的是，这个方程并不能表示所有的平面直线，像$x=1$这类与$x$轴平行的直线是没有办法写成(1)的，因为斜率不能为’$\infty $’!。所以在计算两点$A(x_1,y_1),B(x_1,y_1)$构成的直线时，我们需要分情况判断： $$ \begin{cases} x=x_1,\quad x_1=x_2 \\ y=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}x+\dfrac{x_1y_2-x_2y_1}{x_1-x_2},\quad x_1\ne x_2 \end{cases} $$ ​ 那么，有没有高级的方程，可以不用搞这么麻烦呢？答案是有的，高中老师告诉我们，直线有一般方程，可以统一描述所有直线： $$ ax+by+c = 0\quad\quad (2) $$ ​ 这个方程倒是解决了上述问题，但是初次接触是不如（1）式直观，参数$a、b、c$在当时看来没有几何意义的，对比（1）里面的斜率和截距$k、b$就很直观，而且参数还多了一个。一般方程的几何意义在学习了向量之后才会比较明确，我们先回忆下向量相关的基础知识，向量也叫矢量，具有方向，一般第一次接触都是用笛卡尔坐标来描述，就是$x-o-y$轴上的分量来给定向量坐标，大部分高中生都默认这个为向量的定义，但其实向量在代数学中是和向量空间一起定义的，一组向量基构成一个向量空间，而向量是这些基的线性组合，由于向量空间具备封闭性，向量的线性组合仍然位于空间内，直观解释就是，将平面内的任意向量线性相加仍然在平面内，三维的向量$\bar{v}$在基坐标$(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)$的线性组合下仍然位于三维空间内，这个线性组合的系数正是向量坐标： $$ \vec{v} = x\cdot(1,0,0)+y\cdot(0,1,0)+z\cdot(0,0,1) $$ ​ 向量具备一些基本性质，如线性性、交换性等，这些都是向量空间的基本性质，只不过限于初次接触时知识不够，没有办法了解，到后面学习了高等代数和向量空间，这些都是自然而然的结论。向量有两种重要的运算，即内积和外积，向量内积的定义为： $$ \vec{a}\cdot \vec{b} = |a|\cdot |b|cos<a,b>\quad \quad (3) $$ ​ 内积是一个标量，其大小等于两个向量的长度积乘两向量夹角的余弦。向量长度定义为$\sqrt{x^2+y^2}$，几何意义就是距离坐标原点的距离（由勾股定理得）。内积也可以写成: $$ (a,b)\cdot(c,d) = ac+bd \quad\quad (4) $$ ​ （3）和（4）是如何等价的？这个也困扰了我很久，直到我知道了欧拉公式： $$ e^{ix}=cosx+isinx \quad\quad (5) $$ ​ 将$\vec{a}\cdot \vec{b}$写成$\vec{a}=r_1(\cos \alpha ,\sin \alpha)=r_1e^{i\alpha},\vec{b}=r_2(\cos \beta,\sin \beta)=r_2e^{i\beta}$，内积可以写成： $$ \vec{a}\cdot \vec{b} = r_1\cdot r_2\cdot e^{i(\alpha-\beta)} = r_1 cos\alpha \cdot r_2 cos\beta + r_1 sin\alpha \cdot r_2 sin\beta + i r_1 r_2sin(\alpha-\beta)\quad\quad (6) $$ ​ 上式中的实数部分(位于平面内)正好就是$ac+bd$，虚数部分的含义有点迷，暂时也不用管了（这个是外积部分，在平面外）。……

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1. 同余(congruence modulo) ​ 同余是指两个整数a、b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余或a同余于b模m。同余的符号是$\equiv$。常用的记法是 $$ a\equiv c\space mod(n) $$ ​ 一般默认$n$为非零整数，$a、c$为非负整数，当然，对于所有的整数，同余的定义和相关性质都是成立的。 $$ 10\equiv 3\space mod\space 7\\ 1\equiv 10\space mod\space 3 $$ 2.同余的性质及证明方法 ​ 同余基本性质有反身性，对称性，传递性和线性可加性,分别如下: $$ a\equiv a\space mod(n) \\ a\equiv b\space mod(n) \Leftrightarrow b\equiv a\space mod(n) \\ a\equiv b\space mod(n)，b\equiv c\space mod(n) \Rightarrow b\equiv c\space mod(n) \\ a\equiv b\space mod(n)，c\equiv d\space mod(n) \Rightarrow a\pm c\equiv b\pm d\space mod(n) \\ a\equiv b\space mod(n)，c\equiv d\space mod(n) \Rightarrow ac\equiv bd\space mod(n) $$……

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