群论、范畴论入门  众所周知，数学的三大方向分别是代数、几何、分析，数相关的归于代数，如初等代数、数论、抽象代数-群论等；几何研究空间和形状，如解析几何、欧氏几何、非欧几何（黎曼几何）、拓扑学、微分几何(流形)等；分析则是数和形之间的纽带，主要包括微积分、实分析、复分析、泛函分析，以及在此基础上发展出的常微分、复变函数与积分变换等。另外概率论-统计、逻辑学、离散数学都可看做三大方向的复合学科。现代数学抽象化程度更高，为了将集合论、群论、向量空间与拓扑中有很多相似的概念统一地表示出来，发展出一门新的学科即范畴论(Category） 。 1 群的基本概念1  群定义为满足如下条件的封闭集合G： 定义一种二元代数运算$\forall a \in G, \exists f:a\mapsto b,b \in G$ 运算满足结合律:$f:a\mapsto b，g:b\mapsto c， f\circ g：a\mapsto c$ 存在单位元：$\exists e, f(e)= e$ 存在逆元：$\forall a \in G, f(a)=b,\exists f^{-1}(b)=a$  当集合满足1、2时，称为半群，满足1、2、3时称为幺半群(单位半群，$\frac{3}{4}$群)；如果1,2,3,4再附加一个交换律$ f\circ g= g\circ f$则称为Abel交换群。常见有的整数加法群(Z,0,+)、实数乘法群(Q,1,*)，以及S2(平面旋转群等)。整数加群是一个Abel交换群。 2 偏序关系  偏序关系（partial order relation）的定义是集合P 与一个二元关系运算’$\le$‘定义的，这个二元关系需要满足： 自反性：$x\le x$ 反对称性：$x \le y 且y \le x \Rightarrow x = y$ 传递性：$x \le y 且y \le z \Rightarrow x \le z$  那么集合P 中的每个元素都可以对应一个范畴上的对象，$\le$ 对应态射，首先就满足了 范畴上每个对象都有id 映射，由于这个关系是可以传递的，所以它是可复合的，例如$f$ 为 $x \le y$，$g$ 为$y\le z$，那么$f \circ g$ 就得到了 $x\le z$，当然这种复合也是可结合的。……

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​ Haskell里面有两个著名的fold函数:foldr/foldl，这两个函数非常具有函数式编程的特点(递归)，几户所有的Haskell教程都会使用foldr/foldl来完成一些命令式语言的循环语句。还有个更少见的unfoldr函数,可以完成一些匪夷所思的操作。 1 fold ​ 几乎所有的函数式语言都有类似的函数，如Javascript的对应是reduce1reduceRight();Haskell的fold有两个版本，分别是foldr和foldl，两个函数主要区别在后缀上，一个从右折叠，一个从左折叠，位于Data.List,常见的教程里面定义的简单版本如下： foldr :: (a -> b -> b) -> b -> [a] -> b foldr step zero (x:xs) = step x (foldr step zero xs) foldr _ zero [] = zero foldl :: (a -> b -> a) -> a -> [b] -> a foldl step zero (x:xs) = foldl step (step zero x) xs foldl _ zero [] = zero ​ fold的参数依次为step函数、初始值、列表，返回值为一个和初始值类型一样的值。注意foldr和foldl的step函数都是二元函数，foldr的step参数顺序为列表元素、折叠变量,foldl的刚好反过来！这点很容易搞混淆。一般我们直接使用预定义的就行，当然对于Data.Tree等可折叠的类型，foldr/foldl也可以适用，方法类似。 ​ 众所周知，Haskell构造列表只能向头部插入元素：1:[2,3],连接链表也可以使用concat函数或者++：[1.……

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​ Dynamic programming is a math method for some special problems1,for any $n$ ,the problem can be reduce to sub problems recursively.the Fibonacci is a typical DP problem: $$ fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2) $$ ​ For a positive integer $n$ the result $fib(n)$ can be parted into two sub problems $fib(n-1)$ and $fib(n-2)$; for $n=0,1$ the result is 1 : fib n | (n == 0) = a | (n == 1) = b | otherwise = fib (n - 1) + fib (n - 2) where a = 1; b = 1 ​ or a more complex version:……

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