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  1. $$ z = r\cdot e^{2\pi i} \quad \sqrt{x} \quad \frac{1}{2} $$ $$z = r\cdot e^{2\pi i} \quad \sqrt{x} \quad \frac{1}{2} $$

  2. $$ \pm \quad \times \quad \div \quad \cdot \quad \cap \quad \cup \quad $$ $$ > \quad< \quad\geq \quad \leq \quad \neq \quad \approx \quad \equiv $$ $$ \pm \quad \times \quad \div \quad \cdot \quad \cap \quad \cup \\ \quad> \quad< \quad\geq \quad \leq \quad \neq \quad \approx \quad \equiv $$

  3. $$ \sum_{x=1}^n \bigl(x_{i}^2- a_{i}\bigr) \quad \prod_{i=1,j=1}^n x_{ij}^2 $$

$$ \sum_{x=1}^n \bigl(x_{i}^2- a_{i}\bigr) \quad \prod_{i=1,j=1}^n x_{ij}^2 $$

  1. 条件分支
$$ 
y= \begin{cases}
-x,\quad x\leq 0 \\\\
x,\quad x>0
\end{cases} 
$$

$$ y= \begin{cases} -x,\quad x\leq 0 \\ x,\quad x>0 \end{cases} $$

  1. 对齐公式
$$
\begin{align}
a &= b+c+d \\\\
x &= y+z
\end{align}
$$

$$ \begin{align} a &= b+c+d \\ x &= y+z \end{align} $$

  1. 多行公式gather
$$
\begin{gather}
\alpha = \overrightarrow{b+c+d} \\\\
\forall y > 0,\exists \quad\beta = \overline{y+z},
\end{gather}
$$

$$ \begin{gather} \alpha = \overrightarrow{b+c+d} \\ \forall y > 0,\exists \quad\beta = \overline{y+z}, \end{gather} $$

  1. 积分微分
$$ \lim_{x\to0}x^2 \quad \int_0^{+\infty} x^2 dx \quad \int\nolimits_a^b x^2 dx$$

$$ \lim_{x\to0}x^2 \quad \int_0^{+\infty} x^2 dx \quad \int\nolimits_a^b x^2 dx $$

  1. 大括号\bigl \Bigl
$$  \Bigl\{ \bigl( x + y \bigr)^2 = y\Bigr\} $$

$$ \Bigl{ \bigl( x + y \bigr)^2 = y\Bigr} $$

  1. 点符号
$$x_1,x_2,\dots ,x_n\quad 1,2,\cdots ,n \quad \vdots \quad \ddots $$

$$ x_1,x_2,\dots ,x_n\quad 1,2,\cdots ,n \quad \vdots \quad \ddots $$

Latex公式编辑简单示例

  1. 最美的数学公式，圆周率和自然对数的关系，Latex公式代码为i^2 = 1 \Leftrightarrow e^{\pi i} + 1 = 0： $$ i^2 = 1 \Leftrightarrow e^{\pi i} + 1 = 0 $$

  2. 最小二乘法，带L2正则，行内显示模式，Latex公式代码为f(\boldsymbol x) = {1\over 2}(\mathbf{w}^T\boldsymbol{x}-y)^2+\sum_{i=1}^K w_i^2： $$ f(\boldsymbol x) = {1\over 2}(\mathbf{w}^T\boldsymbol{x}-y)^2+\sum_{i=1}^K w_i^2 $$

  3. Matrix (bmatrix/vmatrix/) $$ \begin{bmatrix} 1 & x & x^2 \ 1 & y & y^2 \ 1 & z & z^2 \ \end{bmatrix} $$

  4. 化学反应式, 示例Latex公式代码：2H_2 + O_2 \xrightarrow{n,m}2H_2O $$ 2H_2 + O_2 \xrightarrow{Fe_3O_2}2H_2O $$

  5. 物理公式, Latex公式代码:\vec{F}_g=-F\frac{m_1 m_2}{r^2} \vec{e}_r $$ \vec{F}_g=-F\frac{m_1 m_2}{r^2} \vec{e}_r $$

  6. 上标/下标/左上/左下, sideset关键字，第一个花括号设置左边，第二个花括号设置右边，Latex公式示例: \sideset{_{a}^{b}}{^c_d}\Theta $$ \sideset{_{a}^{b}}{^c_d}\Theta $$

  7. 条件定义:如Callatz猜想

$$ f(n) =\begin{cases} n/2, & \mbox{if }n\mbox{ is even} \\ 3n+1, & \mbox{if }n\mbox{ is odd} \\ \end{cases} $$ ``` $$ f(n) = \begin{cases}
n/2, & \mbox{if }n\mbox{ is even} \\ 3n+1, & \mbox{if }n\mbox{ is odd} \\ \end{cases}\Leftrightarrow f(n)\equiv 1 $$

  1. 概率： $$ 二项式系数：~\binom{n}{r}=\dbinom{n}{n-r}=\mathrm{C}_n^r=\mathrm{C}_n^{n-r} $$

Latex其他常见数学示例1

Latex数学公式示例一

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Markdown使用LeTax书写数学公式23

1. 二次方程求根公式:

$$ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

2. 三角和公式:

$$ \sin(\alpha+\beta) = \sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta) $$

简单证明如下： 平面上两个单位向量，与x轴正向夹角分别为$x$和$y$，则这两个向量分别为$\vec{\alpha}(\cos x,\sin x),\quad\vec{\beta}(\cos y,\sin y)$。则这两个向量的点积为$\cos x\cos y+\sin x\sin y$,而点积又可以表示为$|\vec{\alpha}|\cdot|\vec{\beta}|\cdot\cos|x-y|=\cos(x-y)$,于是我们得到了以下公式： $$ \cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y \quad\quad (1) $$

将(1)中的$\boldsymbol{y}$换成$\boldsymbol{-y}$得到：

$$ \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y \quad\quad(2) $$

将(1)中的$\boldsymbol{x}$用$\frac{\pi}{2} -x$代入，得到：

$$ \sin(x+y)=\sin x\cos y+\sin y\cos x\quad\quad(3) $$

将(3)中的$\boldsymbol{y}$用$\boldsymbol{-y}$代入，得到:

$$ \sin(x-y)=\cos y\sin x-\cos x\sin y\quad\quad(4) $$

3. 欧拉公式\棣莫弗公式:

$$ z = r\cdot e^{2\pi i},\quad e^{ix}=cosx+isinx \to e^{i\pi}+1=0\\ de\space Moivre’s\space Formula: (cos(x)+isin(x))^n=cos(nx)+isin(nx) = e^{i(nx)},x \in C,n \in R $$

4. 常用公式:

$$\begin{gather} 复数域C；实数域R；有理数域Q \ 自然常数：e =\lim_{x\to \infty}(1+1/x)^x，e^x =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots\\ 欧拉定理： a^{\psi(n)}\equiv 1\space mod(n)，(\psi(n)欧拉函数为小于n的素数个数);特别有a^{p-1}\equiv 1\space mod(p)，当p为素数，a>2\\ 正太分布(高斯分布,probability\space density\space function)：p(x|\mu,\sigma^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\dfrac{-（x-\mu）^2}{2\sigma^2}}\\ 概率分布(或称CDF:累积分布,cumulative\space distribution\space function):F_X(a) = P(x\le a)\\ 傅里叶变换：\hat{f}(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)e^{-2\pi ix \xi}}dx,\xi \in R\\ fourier逆变换:{f}(x)=\int_{-\infty}^{\infty}{\hat{f}(\xi)e^{2\pi i\xi x}}d\xi, x \in R\\ 离散傅里叶变换(DFT):X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_ne^{-i2\pi k\dfrac{n}{N}},k=0,1\dots,N-1,x_n \in C.\\ 离散余弦变换(DCT-II):f_m=\sum_{k=0}^{n-1}x_kcos\Big[\dfrac{\pi}{n}m(k+\frac{1}{2})\Big],k=0,1\dots,N-1,x_n \in C.\\ Gamma function:\Gamma (x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt = (x-1)!\\ Beta Function:B(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}=\int_{0}^{1}{t^x(1-t)^y}dt \end{gather}$$

5. 积分\求导More Basical Equation

$$ Dirak\space function:\delta(x)=\begin{cases} 0,x=0 \\ \infty,x \neq 0\end{cases} \quad s.t.\int_{-\infty}^{\infty}{\delta(x)}dx = 1 \\ Hooke\space theroy:F=-kx=\dfrac {dx^2}{dt^2} $$

6. fibonacci若干性质

$$ f(n)=f(n+1)-f(n-1)\\ f(n)=[f(n+1)+f(n-2)]/2\\ \sum_{i=1}^{n}{f^2(i)}=f(n)\cdot f(n-1)\\ \lim_{x\to\infty}\frac{f(n)}{f(n+1)}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx 0.618 $$

7.MATRIX

假设单位向量$\overrightarrow{u}坐标为(\sin x,\cos x)$，旋转$\theta$后变为向量$\overrightarrow{u’}坐标为(\sin y,\cos y)$,由内积和外积定义可得：

$$ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u’} = \cos \theta = \cos x \cos y + \sin x \sin y \quad\quad(5)\\ \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{u’}=\sin \theta = \begin{vmatrix} i & j & k\\ \cos x & \sin x &0\\ \cos y & \sin y &0\\ \end{vmatrix}= \cos x \sin y - \sin x \cos y \quad\quad(6) $$ 另有

$$ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\quad\quad(7) $$

由$(5)\cdot \sin x +(6)\cdot \cos x解得\sin y$;由$(5)\cdot \cos x -(6)\cdot \sin x解得\cos y$: $$ \begin{cases} \sin y = \sin x\cdot\cos\theta+ \cos x\cdot \sin \theta\\ \cos y = \cos x\cdot\cos\theta-\sin x\cdot\sin\theta \end{cases} $$ 即2维旋转矩阵(S2)：

$$ \begin{pmatrix} \cos y\\ \sin y \end{pmatrix}=\begin{vmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\\ \end{vmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \cos x\\ \sin x \end{pmatrix}\quad(8) $$

同理可得三维旋转矩阵(S3)为:

$$ R_x(\omega)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & cos\omega & -sin\omega\\ 0 & sin\omega & cos\omega\\ \end{bmatrix}， R_y(\phi)=\begin{bmatrix} cos\phi &0 & -sin\phi\\ 0 & 1 & 0 \\ sin\phi &0 & cos\phi\\ \end{bmatrix}， R_z(\kappa)=\begin{bmatrix} cos\kappa & -sin\kappa &0\\ sin\kappa & cos\kappa &0\\ 0 &0 &1 \\ \end{bmatrix}\\ R=R_z(\kappa)\cdot R_y(\phi)\cdot R_x(\omega) = \begin{bmatrix} cosϕ⋅cosκ& −cosϕ⋅sinκ&sinϕ\\ cosω⋅sinκ+sinω⋅sinϕ⋅cosκ & cosω⋅cosκ−sinω⋅sinϕ⋅sinκ &−sinω⋅cosϕ \\ sinω⋅sinκ−cosω⋅sinϕ⋅cosκ & sinω⋅cosκ+cosω⋅sinϕcdotsinκ &cosω⋅cosϕ\end{bmatrix} $$

8. Riemann Function (Zeta)

$$ \zeta(s) = \sum_0^\infty \frac{1}{n^s}, s \in R\space and\space Real(s) > 1\\ specially,\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6} $$

9.系统可靠性(Realibality)

$$ 可靠度R=\begin{cases}R=\prod_i^nR_i,串联系统\\R=\prod_i^n(1-R_i),并联系统\end{cases} $$ 失效率$\lambda$与可靠度R关系为: $$ R=e^{-\lambda t} $$

其他待办事项:

  1. https://zh.wikipedia.org/wiki/Help:%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%85%AC%E5%BC%8F ↩︎

  2. https://latex.vimsky.com/ ↩︎

  3. hhttps://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php?lang=zh-cn ↩︎